5 Paradoxos Matemáticos

1 - Paradoxo de Pinóquio

Trata-se de um conflito de lógica baseado na famosa história infantil do boneco Pinóquio, cujo nariz crescia sempre que o mesmo contava uma mentira. Imagine o Pinóquio dizendo a frase:

"Meu nariz vai crescer agora."

Neste caso, duas hipóteses, igualmente válidas poderiam acontecer:

1) O nariz de Pinóquio não cresce. Então ele disse uma mentira, portanto, o nariz deve crescer;

2) O nariz de Pinóquio cresce. Então ele disse uma verdade, portanto, o nariz dele não tinha motivo para ter crescido.

Em ambos os casos, seria gerada uma contradição, pois, se o nariz cresce, ele não deveria ter crescido e, se não cresce, deveria ter crescido.

2 - Paradoxo do Barbeiro da Cidade

Suponha-se que exista uma cidade com apenas um barbeiro, do sexo masculino. Nesta cidade, todos os homens se mantêm bem barbeados e eles fazem isso apenas de duas maneiras:

1. Barbeando-se
2. Frequentando o barbeiro

Outra maneira de definir isso é: O barbeiro é um homem da cidade que faz a barba de todos aqueles, e somente dos homens da cidade que não barbeiam a si mesmos. Tudo isso parece perfeitamente lógico, até que se coloca a questão paradoxal:

• Quem barbeia o barbeiro?

Esta questão leva a um paradoxo porque, de acordo com a afirmação acima, ele pode ser barbeado por:

1. Ele mesmo, ou
2. O barbeiro (que passa a ser ele mesmo)

No entanto, nenhuma destas possibilidades são válidas, porque:

1. Se o barbeiro barbear-se a si mesmo, então o barbeiro (ele mesmo) não deve barbear a si mesmo.
2. Se o barbeiro não se barbeia a si mesmo, então ele (o barbeiro) deve barbear a si mesmo.

3 - O Paradoxo do Enforcamento Inesperado

Uma das versões mais conhecidas do paradoxo pode ser apresentada da seguinte maneira:

Hoje é sábado, e é decretado que o prisioneiro será enforcado na semana seguinte (entre domingo e sábado) ao meio-dia. É decretado também que o enforcamento ocorrerá em um dia inesperado, ou seja, só será descoberto o dia do enforcamento no próprio dia.

O prisioneiro, esperando saber quantos dias de vida ainda lhe restam e, presumindo que o decreto diga a verdade, passa a procurar as possibilidades para a data do enforcamento inesperado.

Ele conclui que enforcamento não pode ocorrer no sábado seguinte, pois se ocorresse no sábado, sexta-feira após ao meio-dia já se saberia o dia do enforcamento com certeza e ele já não seria mais inesperado. Podemos então eliminar o sábado da lista de possíveis dias para o enforcamento.

O enforcamento não poderá ocorrer na sexta-feira pois na quinta-feira ao meio-dia já se saberia o dia do enforcamento (em vista que já sabemos que ele não ocorrerá no sábado).

De modo análogo podemos concluir que o enforcamento não ocorrerá na quinta-feira, na quarta-feira, na terça-feira, na segunda-feira e no domingo. Chegamos então a conclusão que o enforcamento não pode ocorrer da forma que foi anunciado.

O paradoxo decorre do fato que, uma vez que o enforcamento não pode ocorrer de acordo com as regras estabelecidas, não se espera que ele ocorra em nenhum dia da semana. Supondo que o diretor da prisão resolva enforcar o prisioneiro na quarta-feira, ele será totalmente imprevisto, pela própria razão que levou o prisioneiro a considerar que não poderia ser imprevisível.

4 - Paradoxo do Crocodilo

Um crocodilo rouba uma criança. Quando a mãe reclama, o crocodilo faz a seguinte proposta: “devolverei a  criança se você adivinhar correctamente se eu a devolverei ou não”. A mãe responde: “ não vai devolver a minha criança”. 

O que deve fazer o crocodilo? Se ele devolve a criança entra em contradição, pois a mãe errou. Mas, se o crocodilo não a devolve,  acontece o mesmo pois,  a mãe respondeu correctamente. 

5 - Paradoxo da Viagem no Tempo

É uma questão de viajar no tempo… se viajar no tempo ao passado para matar o meu avô, então não nasço. Porém, se eu não nasço, não viajo no tempo e não mato o meu avô, mas mesmo assim, nasço e viajo no tempo, assim como mato o meu avô. Contudo, não nasço e não viajo no tempo.

Obs. Este paradoxo é bem retratado no filme "A máquina do tempo".