Desafio 01 - O gato, o bolo, o despertador, o café e o telefone.

Dez minutos antes de colocar o bolo no forno, eu coloquei meu gato do lado de fora da casa.

O bolo deve cozinhar por 35 minutos, então eu coloquei o despertador para tocar em 35 minutos, após colocar o bolo no forno. Imediatamente fiz um café para mim, o que me tomou 6 minutos. 

Três minutos antes de acabar de beber o café o gato entrou em casa. Isso foi 5 minutos antes do despertador tocar. 

O telefone tocou no meio do tempo entre eu acabar de fazer o café e o gato entrar em casa. Falei ao telefone por 5 minutos e desliguei. Eram 3h59min da tarde. 

A que horas coloquei o gato fora de casa?

Resolução:

Vamos listar os eventos ocorridos e contar o tempo gasto em cada um.

A primeira atividade foi colocar o gato fora da casa. Logo, nossa lista começa com essa atividade e o tempo é contado a partir dela.

Atividade	Tempo depois que o gato foi posto fora de casa
Gato fora de casa	0 minutos
Bolo no forno	10 minutos
Fazer o café	10+6 = 16 minutos
Despertador toca	35+10 = 45 minutos
Gato entra em casa	45-5= 40 minutos
Acabar de tomar o café	40+3 = 43 minutos
Telefone toca	16+(40-16)/2 = 28 minutos
Desligar o telefone	28+5 = 33 minutos

Segundo o quadro, às 03h59min desliguei o telefone, o que ocorreu 33 minutos depois de colocar o gato fora de casa. Logo a resposta é 03h59min - 00h33min = 03h26min.

O Papiro de Rhind

O papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um documento egípcio que tem sua origem datada em cerca de 1650 a.C. Tem aproximadamente 5,5m por 0,32m

É o mais famoso documento matemático e um dos mais antigos, nele encontram-se cerca de 84 problemas matemáticos relacionados ao cotidiano e suas respectivas resoluções.

Não se sabe se este documento foi feito para fins pedagógicos ou se era somente um caderno de anotações de um aluno, ele contém informações sobre diversas áreas da matemática, regra de três, equações lineares, cálculo de áreas, volumes e outros

Veja a tabela dos problemas.

Cálculos que mostram 2 dividido por cada um dos números ímpares de 3 a 101.
Uma tabela contendo os resultados da divisão de cada número de 1 a 9 por 10.
1 a 6		Divisão de 1, 2, 6, 7, 8 e 9 pães por 10 homens.
7 a 20		Multiplicação de diferentes frações por 1 + 1/2 + 1/4 ou 1 + 2/3 + 1 /3 21-23: Subtrações: 1 - (2/3 + 1/15), 1 - (2/3 + 1/30) e 2/3 - (1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45).
24 a 29		Problemas de quantidades, envolvendo equações do 1.º grau com uma incógnita, resolvidas pelo método da falsa posição.
30 a 34		Problemas semelhantes aos anteriores, mas mais complicados (envolvendo frações) e resolvidos pelo método da divisão.
35 a 38		Problemas de hekat (medida de capacidade), envolvendo equações do 1.º grau com uma incógnita mas ainda mais complexas que as anteriores, resolvidos pelo método da falsa posição.
39		Divisão de pães.
40		Divisão de pães envolvendo progressões aritméticas.
41 a 43		Volumes de contentores cilíndricos de cereais.
44 a 46		Volumes de contentores paralelepipédicos de cereais.
47		Tabela das frações de 1 hekat, como frações do olho de Horus.
48 a 53		Áreas de triângulos, rectângulos, trapézios e círculos.
54 e 55		Divisão relacionada com área.
56 a 60		Problemas relacionados com pirâmides (sekeds, alturas e bases)
61 e 61B		Tabela de uma regra para encontrar 2/3 de números ímpares e fracções unitárias.
62		Problema de proporções, sobre metais preciosos e os seu peso.
63 e 65		Divisão proporcional de pães por um número de homens.
64		Problema envolvendo uma progressão aritmética.
66		Divisão de gordura.
67		Proporção de gado devido a imposto.
68		Divisão proporcional de cereais entre grupos de homens.
69 a 78		Problemas de pesus de pão e cerveja. Proporção inversa.
79		Progressão geométrica de razão 7.
80 e 81		Tabelas das fracções do olho de Horus.
82 a 84		Problemas (pouco claros) sobre a quantidade de comida de vários animais domésticos, como gansos e outras aves

Um dos desafios retirado do antigo papiro de Ahmes (ou Rhind).

"Linda donzela, de olhos brilhantes, diz-me qual o número que, multiplicado por 3, somado a três quartos do produto, dividido por 7, subtraindo de um terço do quociente, multiplicado por si mesmo, subtraindo de 52, tendo sua raiz quadrada extraída, somado a 8 e depois dividido por 10, dá o número 2?"

Resolução - Resolvendo do fim para o início temos que:

Se dividindo o penúltimo resultado por 10 dá 2, então aquele será vinte;

Se o anterior somado a 8 dá 20 então, serão 12;

Se o anterior tem raiz quadrada 12 então, serão 144;

Se ao anterior subtraindo 52 dá 144 então, serão 196;

Se o anterior multiplicado por si mesmo dá 196 então será 14;

Se subtraindo um terço do anterior dá 14 então será 21;

Se o anterior dividido por sete dá 21 então será 147;

Se ao anterior somar três quartos dá 147 então será 84.

Finalmente se o número multiplicado por 3 dá 84 ele será 28.

Existe raiz quadrada de um número negativo?

No primário somos apresentados aos números naturais (N), e a “tia” nos ensina que é impossível efetuar uma subtração de um número menor por um maior.

Mais a frente somos apresentados aos números Inteiros (Z) e descobrimos que isso não é verdade, descobrimos que os números vão muito além dos naturais, e agora cosneguimos somar, subtrair e multiplicar quaisquer números... Infelizmente descobrimos que não podemos dividir quaisquer dois números....

Na sequencia, somos apresentados ao racionais (Q) e irracionais (I), completando assim o conjunto dos números reais (R), agora sim, todas as operações estão completas, podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir quaisquer números.

Até então a operaçãoé considerada impossível, pois sabemos que não existe um número real que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo, afinal pelas propriedades temos

Se multiplcarmos dois números com o mesmo sinal sempre teremos um resultado positivo.

A matemática através dos tempos serviu diversas vezes para demonstrar algo que era observável porém ainda não conhecida suas propriedades, sua existência e foi na resolução de equações do 3º grau através fórmula de Cardano que se observou que este número deveria existir.

Fórmula de Cardano.

Exemplo:

A equação x³ - 15x - 4 = 0 tem como solução x = 4 pois  4³ - 15.4 - 4 = 0

Porém quando utilizada a fórmula de Cardano chegamos a:

Onde temos uma raiz de um número negativo, que pelo conhecido, não resultaria em resultados reais...
Mas como vimos, o 4 é um resultado, então o que fazer?

Assim funciona a matemática, observando que esta equação não está errada, os estudiosos da época tiveram que desenvolver um novo sistema numérico para abranger o novo conhecimento.

Através de Euler (1777) o símbolo i ficou conhecido por representar

Definindo então que i² = -1

Foi denominado então um novo conjunto numérico, o conjunto dos números complexos (C), que inclui a raiz de números negativos.

Sua aplicação é bastante abstrata para pessoas”comuns”. Porém o estudo dos números complexos é determinante para o avanço de alguns ramos de pesquisas, tais como: Teoria do buraco negro, Engenharia de Controle, Engenharia Elétrica, Geometria Fractal, e outros.

Mesmo não sabendo exatamente pra que servem, a partir de hoje você irá olhar de forma diferente quando estiver resolvendo uma equação do segundo grau através da “fórmula de baskara” e se deparar com um delta negativo... Pois diferente do que muitos pensam, elas possuim solução também neste caso.

5 Paradoxos Matemáticos

1 - Paradoxo de Pinóquio

Trata-se de um conflito de lógica baseado na famosa história infantil do boneco Pinóquio, cujo nariz crescia sempre que o mesmo contava uma mentira. Imagine o Pinóquio dizendo a frase:

"Meu nariz vai crescer agora."

Neste caso, duas hipóteses, igualmente válidas poderiam acontecer:

1) O nariz de Pinóquio não cresce. Então ele disse uma mentira, portanto, o nariz deve crescer;

2) O nariz de Pinóquio cresce. Então ele disse uma verdade, portanto, o nariz dele não tinha motivo para ter crescido.

Em ambos os casos, seria gerada uma contradição, pois, se o nariz cresce, ele não deveria ter crescido e, se não cresce, deveria ter crescido.

2 - Paradoxo do Barbeiro da Cidade

Suponha-se que exista uma cidade com apenas um barbeiro, do sexo masculino. Nesta cidade, todos os homens se mantêm bem barbeados e eles fazem isso apenas de duas maneiras:

1. Barbeando-se
2. Frequentando o barbeiro

Outra maneira de definir isso é: O barbeiro é um homem da cidade que faz a barba de todos aqueles, e somente dos homens da cidade que não barbeiam a si mesmos. Tudo isso parece perfeitamente lógico, até que se coloca a questão paradoxal:

• Quem barbeia o barbeiro?

Esta questão leva a um paradoxo porque, de acordo com a afirmação acima, ele pode ser barbeado por:

1. Ele mesmo, ou
2. O barbeiro (que passa a ser ele mesmo)

No entanto, nenhuma destas possibilidades são válidas, porque:

1. Se o barbeiro barbear-se a si mesmo, então o barbeiro (ele mesmo) não deve barbear a si mesmo.
2. Se o barbeiro não se barbeia a si mesmo, então ele (o barbeiro) deve barbear a si mesmo.

3 - O Paradoxo do Enforcamento Inesperado

Uma das versões mais conhecidas do paradoxo pode ser apresentada da seguinte maneira:

Hoje é sábado, e é decretado que o prisioneiro será enforcado na semana seguinte (entre domingo e sábado) ao meio-dia. É decretado também que o enforcamento ocorrerá em um dia inesperado, ou seja, só será descoberto o dia do enforcamento no próprio dia.

O prisioneiro, esperando saber quantos dias de vida ainda lhe restam e, presumindo que o decreto diga a verdade, passa a procurar as possibilidades para a data do enforcamento inesperado.

Ele conclui que enforcamento não pode ocorrer no sábado seguinte, pois se ocorresse no sábado, sexta-feira após ao meio-dia já se saberia o dia do enforcamento com certeza e ele já não seria mais inesperado. Podemos então eliminar o sábado da lista de possíveis dias para o enforcamento.

O enforcamento não poderá ocorrer na sexta-feira pois na quinta-feira ao meio-dia já se saberia o dia do enforcamento (em vista que já sabemos que ele não ocorrerá no sábado).

De modo análogo podemos concluir que o enforcamento não ocorrerá na quinta-feira, na quarta-feira, na terça-feira, na segunda-feira e no domingo. Chegamos então a conclusão que o enforcamento não pode ocorrer da forma que foi anunciado.

O paradoxo decorre do fato que, uma vez que o enforcamento não pode ocorrer de acordo com as regras estabelecidas, não se espera que ele ocorra em nenhum dia da semana. Supondo que o diretor da prisão resolva enforcar o prisioneiro na quarta-feira, ele será totalmente imprevisto, pela própria razão que levou o prisioneiro a considerar que não poderia ser imprevisível.

4 - Paradoxo do Crocodilo

Um crocodilo rouba uma criança. Quando a mãe reclama, o crocodilo faz a seguinte proposta: “devolverei a  criança se você adivinhar correctamente se eu a devolverei ou não”. A mãe responde: “ não vai devolver a minha criança”. 

O que deve fazer o crocodilo? Se ele devolve a criança entra em contradição, pois a mãe errou. Mas, se o crocodilo não a devolve,  acontece o mesmo pois,  a mãe respondeu correctamente. 

5 - Paradoxo da Viagem no Tempo

É uma questão de viajar no tempo… se viajar no tempo ao passado para matar o meu avô, então não nasço. Porém, se eu não nasço, não viajo no tempo e não mato o meu avô, mas mesmo assim, nasço e viajo no tempo, assim como mato o meu avô. Contudo, não nasço e não viajo no tempo.

Obs. Este paradoxo é bem retratado no filme "A máquina do tempo".

O dilema dos prisioneiros

"Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia tem provas insuficientes para os condenar, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos prisioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro permanecer em silêncio, o que confessou sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre 10 anos de sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a polícia só pode condená-los a 6 meses de cadeia cada um. Se ambos traírem o comparsa, cada um leva 5 anos de cadeia. Cada prisioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar, e nenhum tem certeza da decisão do outro. A questão que o dilema propõe é: o que vai acontecer? Como o prisioneiro vai reagir?"

O dilema do prisioneiro é um problema da teoria dos jogos e um exemplo claro, mas atípico, de um problema de soma não nula. Neste problema, como em outros muitos, supõe-se que cada jogador, de modo independente, quer aumentar ao máximo a sua própria vantagem sem lhe importar o resultado do outro jogador.

As técnicas de análise da teoria de jogos padrão - por exemplo determinar o equilíbrio de Nash* - podem levar cada jogador a escolher trair o outro, mas curiosamente ambos os jogadores obteriam um resultado melhor se colaborassem. Infelizmente (para os prisioneiros), cada jogador é incentivado individualmente para defraudar o outro, mesmo após lhe ter prometido colaborar. Este é o ponto-chave do dilema.

No dilema do prisioneiro iterado, a cooperação pode obter-se como um resultado de equilíbrio. Aqui joga-se repetidamente, pelo que, quando se repete o jogo, oferece-se a cada jogador a oportunidade de castigar o outro jogador pela não cooperação em jogos anteriores. Assim, o incentivo para defraudar pode ser superado pela ameaça do castigo, o que conduz a um resultado melhor, cooperativo.

O fato é que pode haver dois vencedores no jogo, sendo esta última solução a melhor para ambos, quando analisada em conjunto. Entretanto, os jogadores confrontam-se com alguns problemas: Confiam no cúmplice e permanecem negando o crime, mesmo correndo o risco de serem colocados numa situação ainda pior, ou confessam e esperam ser libertados, apesar de que, se ele fizer o mesmo, ambos ficarão numa situação pior do que se permanecessem calados?

Um experimento baseado no simples dilema encontrou que cerca de 40% de participantes cooperaram (ficaram em silêncio).

Em abstracto, não importa os valores das penas, mas o cálculo das vantagens de uma decisão cujas conseqüências estão atreladas às decisões de outros agentes, onde a confiança e traição fazem parte da estratégia em jogo.

Casos como este são recorrentes na economia, na biologia e na estratégia. O estudo das táticas mais vantajosas num cenário onde esse dilema se repita é um dos temas da teoria dos jogos.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro

*Curiosidade: Jonh Nash desenvolvedor do equilíbrio de Nash tem sua vida retratada no filme "Uma mente brilhante"

*Curiosidade2: O programa Sete e meio apresentado por Silvio Santos no início dos anos 2000 tem como base de raciocínio o dilema dos prisioneiros

Agora você pode entender melhor a ideia do jogo e porque o grande Silvio Santos quase sempre se dava bem.

5 Aplicações dos Logaritmos

Uma das grandes certezas que a maioria das pessoas tem na vida é a de que terminamos o Ensino Médio sem ter ideia do pra que servem os logaritmos.

Na antiguidade o logaritmo foi desenvolvido como um facilitador de cálculos, onde era utilizada pra calcular potencias através do produto de potências menores, pela soma de seus expoentes.

Porém, hoje vamos tentar mostrar que essa ferramenta matemática é muito utilizada por profissionais de diversas áreas, vejam 5 aplicações diretas de logaritmos.

Aplicação 1 - Medição de terremotos.

A escala Richter é utilizada para quantificar o nível de energia liberada por um sismo.
A fórmula utilizada é M_L = logA - logA₀ onde:
A = amplitude máxima medida no sismógrafo
A₀ = uma amplitude de referência.

Aplicação 2 - Química

Os químicos, para determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa, utilizam a fórmula Q = Q₀ .2,71^-r.t , em que Q é a massa da substância, Q₀ é a massa inicial, r é taxa de redução da radiatividade e t é o tempo em anos.

Aplicação 3 - Medicina

Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sangüínea e, ao passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada a uma taxa que é proporcional à quantidade presente no corpo. Suponha uma super-dose de um medicamento cujo princípio ativo é de 500 mg. A quantidade q desse princípio ativo que continua presente no organismo t horas após a ingestão é dada pela expressão q(t) = 500 . (0,6)t . Usando ln3 = 1,1, ln5 = 1,6 e ln2 = 0,7, é possível obter o tempo necessário para que a quantidade dessa droga presente no corpo do paciente seja menor que 100 mg.

Aplicação 4 - Biologia

O crescimento da maioria das culturas de bacilos é dado exponencialmente, logo para obter as estimativas por tempo é necessário a utilização dos logaritmos.

Aplicação 5 - Matemática Financeira.

No cálculo do montante de juros compostos temos a estrutura M = C . (1 + i)ⁿ
Onde M é o montante acumulado, C é o capital inicial, i é a taxa de juros e n é o tempo.
Com uma estrutura exponencial muitos casos precisarão do auxílio de logaritmos para serem resolvidos.